Geometry(几何)
Introduce to Geometry
Examples of Geometry
机械
水
毛发
Representation of Geometry
Implicit(隐式表达)
隐式表达，一般看表达式，但是光看表达式并不直观。algebraic方式。
另一种方法是constructive solid geometry（csg,构造立体几何法)
距离函数Distance Function
希望blend得到AB的中间状态，SDF是有向距离场
如果是第一行的图，结果不能得到左黑右白的中间态
第二行使用SDF，通过blend，可以得到0的位置，颜色围绕0开始渐变。
插值得到的SDF再转回原图像
Explicit(显式表达)
直接通过uv映射方式定义
隐式不知道函数的结果是哪个变量，显示知道；显示通过已知的自变量就能得出图形的结果样子。
Geometry is hard!
Point Cloud（最简单）,lists of point,点足够多就成了面
Polygon Mesh(多边形网格)，如三角网格
The Wavefront Object File(.obj) Format，这种.obj文件不是目标文件，而是一种文本格式，记录了顶点（vertices)，法线（normal),纹理（texture),坐标（coordinates)
还有它们的connectivities；本质上就是一个3d白模文件。
Curve（曲线）
以上讲了两种几何的两种表达方式。接下来主要学习曲线这种几何的实现与应用。
贝塞尔曲线
类似于ps钢笔工具，选择控制点，帮助绘制曲线（显示表达）
如何绘制贝塞尔曲线？
de Casteljau Algorithm
举例：要求从b0开始，b2结束，t是时间记为【0，1】，共计三个控制点，如下图
以时间t为单位进行划分，得到b01,b11,连线后再划分，recursively直到无法划分
最后我们得到曲线过三个点。
更普遍地
两个控制点画直线
三个控制点，绘制二次贝塞尔曲线。
…
若干个无限递归下去，n个点逐渐递归成一个点，不难发现（1-t + t) ^n的展开项正是控制点bj的权重
称之为伯因斯坦多项式，以下是n阶贝塞尔曲线的解析式
有关贝塞尔曲线的性质，1. 起点终点都固定 2.初始方向，最后方向确定 3. affine property仿射性质，想要移动变换曲线可以通过变换控制点。
4.凸包性质（Convex Hull)：
想象蓝色线条为橡皮筋，橡皮筋包围的区域就是凸包
贝塞尔曲线一定在凸包里面
【补充】
- 二项展开：
简记为：
莱布尼兹多项式展开
展开通项为（又叫做多项式定理）
伯因斯坦多项式
Piecewise Bezier(逐段贝塞尔)
多段3阶贝塞尔的连接。
示意图，曲线要连续，最后两个点决定终点导数，如果终点导数和下一个起点导数相等（蓝色标记共线等长），则认为曲线光滑连续。
【补充】
Spline 样条
有多个控制点，保持连续。一个可控的曲线。
用的多的有B-Spline(复杂度高)
Surface(曲面)
如何用贝塞尔曲线拓展到曲面，下图中，有一个4x4=16控制点的几何。
一共有四行，每行一条3阶贝塞尔曲线，只要控制贝塞尔曲线的高度，进而就能控制面的形状。
具体操作如下图，其实上述有一个问题，竖轴（假设贝塞尔曲线所在轴）可以随意控制，但是横轴的变形却未提及
根据上图我们可以发现，四条贝塞尔分别插值，最后得到4个点再做二维的插值。由此可以实现贝塞尔曲面。
设参数为（u，v)，横轴和竖轴的时间参数。显然这里也验证了贝塞尔曲线是显示的表达方式。
Mesh Operations(Geometry Processing)
Mesh subdivision(网格细分)
什么是细分？
可以理解为提高模型网格的精度（分辨率）
如何细分？
- 创建更多三角形
- 调整三角形的位置
Loop Subdivision
循环细分，拿一个三角形来举例，首先分成4个小三角形，然后调整位置。
具体如何tune position(调整位置)呢？
- 得到的新顶点会根据与老顶点相对位置进行加权平均，如下图
原来的**老顶点（old vertices)**也会进行一定程度的调整，其中n是degree,下图对于中间的白点，
由于度为6，连接了多个三角形，重要性相对就会比较低（n越大，白点的权重越小）；同时邻点权重会变大。
Catmull-Clark Subdivision
使用Loop subdivision的条件是网格为三角形。但是如果网格为下图这样的情况。
Catmull-Clark可以用作不同形状的面。
【条件】extraordinary vertices(定义度为不等于4的点为奇异点)
下图中，将边的中点连接交会到一个新的点（注意这个新的点同时也是面的中心）；最后得到的两个新点再连接。发现已经没有三角形了。
再细分多次
Catmull-Clark细分方法总结，1. 增加图元的方法是通过连接中点和图元中心 2.调整顶点位置（tune position)的方法依然是通过加权平均得到。图元中心为f，边的中点为e，图元顶点为v。
Mesh simplification
减少mesh图元的同时不改变形状
下图为不同数量三角面的结果。类似于mipmap不同层级用不同图片。
如何做网格简化
边坍缩
Quadric Error Metric(二次误差度量)实现边坍缩，下图中，我们需要将上面三个顶点坍缩成一个蓝色点。
需要找到一个最小的蓝点，使得该点（边）到其他三个点（面）的距离平方和最小。这个平方和就是二次度量误差，新建优先队列，将最小的误差放在前面，每次坍缩最小的那个。
